Nam Hung Tran Nguyen

   Tôi nghĩ rằng bất kì ai nghiên cứu đủ sâu về một lĩnh vực nào đó trong toán học cũng sẽ có một hoặc một vài "idol" của riêng mình. Ví dụ những người yêu thích hình học đại số thì hâm mộ Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, John Tate, hay một số nhà toán học trẻ như Peter Scholze, Caucher Birkar, Will Sawin, ... Hoặc những người đã và đang tìm hiểu lý thuyết nhóm hình học (geometric group theory), như tôi chẳng hạn, cũng biết đến một số nhà toán học tên tuổi đã xây dựng những nền tảng quan trọng cho lĩnh vực này như Max Dehn, Mikhail Gromov, ... và một số nhà toán học (trẻ) đã và đang tích cực nghiên cứu về lĩnh vực này trong thời gian gần đây.     Việc này thật ra khá giống với việc nhiều bạn trẻ đang "đu" idol (V-Pop hoặc K-Pop chẳng hạn). Nếu như những người hâm mộ của một nhóm nhạc Hàn Quốc nào đấy đếm từng ngày từng giờ để chờ ra mắt một MV mới thì cộng đồng toán học cũng có thể "chao đảo" khi một kết quả toán học mới được công bố. Và việc ...

Let {r_k} be a 1-1 enumeration of the rational numbers and {x_n} be an arbitrary sequence consisting of rational numbers. There exists three permutations \pi_1, \pi_2, \pi_3 of the natural numbers such that x_n = r_{\pi_1(n)} + r_{\pi_2(n)} + r_{\pi_3(n)} for every n = 1, 2, 3, ... These three permutations can be found as follows:     - First, pick \pi_1(1) = 1 and choose \pi_2(1), \pi_3(1) arbitrarily such that r_{\pi_2(1)} + r_{\pi_3(1)} = x_1 - r_1.     - Choose \pi_2(2) to be the smallest positive integer that are not in the set {\pi_2(1)} and choose \pi_1(2), \pi_3(2) such that \pi_1(2) is not in the set {\pi_1(1)}, \pi_3(2) is not in the set {\pi_3(1)} and r_{\pi_1(2)} + r_{\pi_3(2)} = x_2 - r_{\pi_2(2)}. This can be done since there are infinitely many pairs of rational numbers summing to x_2 - r_{\pi_2(2)} and we only need to avoid finitely many of them.     - Similarly, choose \pi_3(3) to be the smallest positive integer that are not...

  1. The length of an element with respect to a (finite) set of generators    Let G be a group and S be a generating set of G. For each g in G, the length  of G with respect to S is the smallest non-negative integer k such that g can be written as s(1)s(2)...s(k), where s(i) is in S or s(i)^(-1) is in S for each i = 1, 2, ..., k. The length of the identity element is defined to be zero. In graph-theoretic language , the length of an element might be defined as the distance from the vertex representing that element to the vertex representing the identity element in the Cayley graph of G with respect to S.     If S is a finite generating set of an infinite group G, the number of elements of length not exceeding k is bounded above by (2|S| + 1)^k. Each such element should be written as s(1)s(2)...s(k) where for each i = 1, 2, ..., k, s(i) is in S or s(i)^(-1) is in S or s(i) is the identity element. Therefore, each s(i) can be chosen in (at most) 2|S...

   This post talks about an interesting group that can be formulated in two ways: as a group of mappings from an interval (with certain points removed) and as a group of automorphisms of a binary tree. The relations between these two formulations will also be explained.  1. First formulation: as a group of mappings from an interval to itself (or, in other words, as a group acting on that interval)    Consider the interval [0, 1] with all dyadic rationals (i.e. numbers that can be expressed as a fraction whose denominator is a power of two ) removed and denote the remaining set by C. This group can be described as a group of bijective mappings from C to itself. It is generated by the elements a, b, c, d , which are defined as follows:     - a is the mapping that sends each x < 1/2 to x + 1/2 and each x > 1/2 to x - 1/2. In other words, it permutes/swaps the two halves of the interval [0, 1].     - b is the mapping that sen...