Some "annoying" stuffs in Category Theory

1. "Small category" is small??

   A category is small if the class of its object forms a set. For example, the category of set is NOT a small category since the collection of all sets is not a set by a well-known paradox. As a result, the category of topological spaces is also not a set because it must be "bigger" than the category of set, since sets only differ in elements, but topological spaces differ in elements and open/closed (sub)sets. 

  This might contradict with our usual sense about small/large things, because sets are often so big that we find it hard to control them. But category theory has reached another level, where set might be regarded as the "simpliest" structure/level. 

2. "Constant" simplicial set

   From our usual sense, "constant" means some stuff should be fixed and invariant of the variables/factors involved. Meanwhile, a constant simplicial set is defined in a very special way: it is the category in which the (only) morphism/function from X_0 to X_n is bijective (!?). The functions involved are far from constant, but the category is called the constant simplicial set. The only "constant" is the cardinality of the sets X_n, which does not depend on n. 

3. Category is abbreviated by "Cat", which might mean (many) other things

   The category of small category (which is mentioned in 1.) is denoted by Cat. However, in mathematics, CAT might be the abbreviation of many other things. Even in the area of algebraic topology, where (most people) first learn about category theory, there is a theorem named Cellular Approximation Theorem, which is also denoted by CAT. 




   

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Trước khi đi du học ngành toán tại Đức

Hình ảnh
Bài viết này tổng hợp những câu chuyện mang tính cá nhân về quá trình tôi chuẩn bị cho chuyến du học tại Đại học Bonn (Đức), một ngôi trường khá danh tiếng về ngành toán. Tôi đã chia sẻ khá đầy đủ những kinh nghiệm hữu ích cho mọi người trong  quyển guideline này , do đó trong bài viết này tôi sẽ đề cập đến những khía cạnh khác, chẳng hạn như trải nghiệm của tôi với các giáo sư ở Đức, hướng nghiên cứu của bản thân, hay là cả những câu chuyện mang tính giải trí cực cao.  1. Trước khi có ý định đi Đức, tôi KHÔNG BIẾT GÌ về Đại học Bonn và những trường khác ở Đức      Hồi năm thứ 1 và năm thứ 2, tôi chỉ tập trung học chứ gần như không tìm hiểu về các nhà toán học cũng như nơi công tác của họ. Lúc đó tôi chỉ thấy các trường ở Mỹ hấp dẫn vì có khá nhiều hướng nghiên cứu, hơn nữa hầu hết các trường đều có các giáo sư làm về đại số  và tổ hợp , những lĩnh vực tôi yêu thích nhất vào lúc đó. Tôi cũng biết rằng  Giáo sư Phan Thành Nam là một trong những cựu si...
Đọc thêm

Some remarkable statistics about the major of (pure) mathematics at several universities in the world

Hình ảnh
1. The number of PhD/Graduate students at some US universities    Many US universities indicated all of their graduate students on their websites. For example, the following image shows the list of graduate students in mathematics at Harvard University.     Based on these lists, I just counted the number of graduate students at some universities and got the following result(s): MIT has 122 students, Cornell University has 80 students, Texas A&M University has 105 students, Stanford University has 65 students, Harvard University has 64 students, Yale University has 46 students, University of Utah has 90 students, The University of Chicago has 81 students, City University of New York has 76 students and University of California, Berkeley (UCB) has 175 students.  2. The number of PhD/Graduate students from several universities who later became speakers at International Congress of Mathematicians    Being invited at International Congress of Mathe...
Đọc thêm

Some interesting facts about Vietnamese

Here is a collection of interesting facts about the language of Vietnamese (tiếng Việt) that I just found out when talking to my friends, who are all Europeans, in Bonn (Germany).  1. In Vietnamese, grandson and nephew are called the same (cháu trai). Similarly, granddaughter and niece are also called the same (cháu gái).  2. In Vietnamese, you can use the same pronoun "em" to call your younger sibling, no matter whether it is your younger brother or your younger sister. Similarly, this pronoun can be used to call someone who is just a few years younger than you, no matter whether this person is a man or a woman.  3. However, when referring to your older sibling, you must use the pronoun "anh" to call your older brother and the pronoun "chị" to cold your older sister. Similarly, you can use the pronoun "anh" to call a boy who is just a few years older than you and the pronoun "chị" to call a girl who is just a few years older than you. ...
Đọc thêm